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Funções

Neste texto apresento os conceitos iniciais de funções, como sua definição ("O que é função?"), Domínio, Contradomínio, Imagem, Função Injetora, Função Sobrejetora, Função Bijetora e Análise de Gráficos. O que é função? Função é uma relação entre dois conjuntos, por exemplo A e B, onde para cada elemento x pertencente a A temos apenas um y de B. Vou exemplificar: se A = {0,1,2,3,4} e B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, sendo f: A -> B (lê-se "f é função de A em B") definida por f(x) = 2x (lê-se "f de x é igual a 2x"), significa que para cada x de A multiplica-se por 2 e encontra-se um valor y ( imagem de x) que está em B (contradomínio) , logo: f(0) = 2.0 = 0 f(1) = 2.1 = 2 f(2) = 2.2 = 4 f(3) = 2.3 = 6 f(4) = 2.4 = 8 Chama-se Domínio da função f o conjunto A, onde usamos os valores para colocar no lugar do x na expressão da função. E B é chamado de contradomínio de f. O conjunto {0,2,4,6,8} formado pelos elementos calculados para cada x do domínio (A) é definido como conjunto Imagem de f, este é um subconjunto de B. Podemos representar a função por meio de diagramas: Algumas funções podem ser classificadas como Injetora, Sobrejetora e Bijetora, vale salientear que existem muitas funções que não se enquadram em nenhuma dessas classificações. Vamos as definições: Uma função é dita Injetora quando não existem elementos do Domínio indo numa mesma Imagem, ou seja, quando selecionamos quaisquer dois elementos do domínio estes são associados em elementos diferentes do contradomínio, possuem imagens diferentes.
A função f, definida acima é injetora, pois todos os elementos de A possuem imagens diferentes. A função é classificada como Sobrejetora, quando a Imagem é igual ao contradomínio, ou seja, a função f NÃO é sobrejetora, pois sua Imagem é o conjunto {0,2,4,6,8} e seu contradomínio é B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} e podemos ver que são diferentes. E por fim, a função é Bijetora, quando é Injetora e Sobrejetora ao mesmo tempo. Vamos agora analisar gráficos e aprender a identificar quando o gráfico indica uma função e quando esta é Injetora, Sobrejetora ou Bijetora. Seja g: R -> R, onde seu gráfico é: g é de fato uma função pois para cada x pertencente ao domínio (representado no plano cartesiano pelo eixo horizontal) existe somente um y no contradomínio (representado pelo eixo vertical), também podemos observar que a função é Injetora, pois não existem elementos do domínio com imagens iguais (mesmo y). A função g é sobrejetora pois o contradomínio são os números reais e todo o eixo vertical é imagem da função. E portanto g é Bijetora, pois é Injetora e Sobrejetora ao mesmo tempo. Outro exemplo: seja h: R -> R, cujo gráfico é: h é uma função e não é injetora, pois existem elementos diferentes do domínio que possuem a mesma imagem (mesmo y), como podemos observar pelos pontos em destaque: E também não é sobrejetora pois o contradomínio é R e a imagem da função h não é R, e sim uma parte de R, ou seja, não é todo o eixo vertical, apenas a parte em destaque: Seja agora m: R->R, com gráfico: Vemos que m NÃO representa uma função, pois existem x pertencentes ao domínio que possuem imagens diferentes, como podemos observar na figura abaixo: Por não ser função as outras classificações (Injetora, Sobrejetora e Bijetora) não se aplicam. Em breve será disponibilizado um texto referente a função linear, aguardem.

Matemática Financeira: conceitos introdutórios

Neste artigo apresento alguns conceitos introdutórios de Matemática Financeira, sendo:  Juros Simples, Juros Compostos, Equivalências entre as taxas de juros e Sistema de Pagamentos Uniforme. 1. Regime de Juros Simples:
Nesse Regime a taxa de juros sempre incide sobre o valor do Capital inicial: 2. Regime de Juros Compostos: Nesse regime a taxa de juros incidem sempre em relação ao capital gerado pela incidência anterior dos juros: 3. Equivalência entre taxas de juros: No regime de Juros Simples, temos apenas que dividir ou multiplicar de acordo com o período (tempo) da taxa: Exemplos: 48% a.a = 4% a.m (48% dividido por 12 meses); 3% a.m = 0,1% a.d (3% dividido por 30 dias); 7% a.m = 84% a.a (7% vezes 12 meses que equivale ao ano). No regime de Juros Compostos é diferente, pois os juros incidem sempre por um novo valor a cada período, por exemplo, será que teremos um aumento de 20% para um capital de R$100,00, capitalizados a uma taxa de juros compostos de 10% a.m por 2 meses? A resposta é NÃO, pois: O valor final do montante após os dois meses foi R$ 121,00 se tivesse sido 20% deveria ser R$ 120,00. Logo no Regime de Juros Compostos para descobrir a taxa equivalente ao bimestre de 10% a.m. não se pode apenas multiplicar por 2, como no regime de juros simples, para isso devemos adotar um novo procedimento, vamos utilizar a expressão dos juros compostos e igualar os montantes de um período e do outro, pois independente do período, se os tempo são equivalentes (2 meses e 1 bimestre por exemplo) os montantes produzidos com as respectivas taxas devem ser iguais: De forma análoga podemos converter de taxa anual para mensal, mensal para trimestral, de mensal para ao dia, e assim por diante, apenas igualando os montantes. 4. Valor Atual (data zero) ou valor presente de um conjunto de capitais e Montante de uma sequência uniforme de PAGAMENTOS: Exemplo: Supondo que uma pessoa possua uma dívida de R$ 1200,00 e que deve ser paga em 3 prestações mensais iguais com taxa de juros compostos de 4% a.m. sem entrada e com a primeira prestação a ser paga em 1 mês. Qual o valor da prestação mensal? Logo para calcular a parcela sem os juros temos que “isolar” P0 na equação, fica então: A soma das parcelas sem juros é o V (valor total sem juros), que no exemplo é R$1000,00. V é a soma dos termos de uma Progressão Geométrica e decorrente disso podemos utilizar a seguinte fórmula para facilitar os cálculos: Sendo, V o valor atual da soma das prestações (sem juros), P o valor das prestações iguais, i a taxa e t o tempo, que nesse caso deve ser uniforme, ou seja, a cada mês, a cada bimestre, a cada ano e assim por diante. Para concluir, vale ressaltar que existem outros Sistemas de Pagamentos e além desses, os Sistemas de Depósitos, estes que serão disponibilizados em breve. #matemática #matemáticafinanceira #jurossimples #juroscompostos #sistemasdepagamentosuniformes #finanças

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